Форум

Тема: Дедуктивное построение школьной математики
Сулейманова А.Ф.
Челябинский государственный педагогический университет

Плодами многовековой работы, в результате которой вся математика приобрела систематический характер, мы пользуемся на каждом шагу. Алгебра и буквенные обозначения в ней - это достижение отчасти арабов, отчасти европейцев периода перехода от средних веков к новым. Каждый знает, что от перестановки слагаемых сумма не меняется и другие законы арифметических и алгебраических действий. Но ведь это сначала необходимо было осознать и отчётливо сформулировать.
В школе более или менее дедуктивно, опираясь на аксиомы, строится геометрия. Но, к сожалению, при дедуктивном построении науки, прежде чтобы добраться до действительно содержательных и заранее не очевидных утверждений, приходится довольно долго возиться с различными простыми фактами вроде того, что диаметр делит круг пополам или углы при основании равнобедренного треугольника равны. Оба эти утверждения приписывают Фалесу - греческому мудрецу, который, если верить преданию, первым начал разрабатывать дедуктивную трактовку геометрии.
В школе обычно нет возможности полностью развернуть дедуктивное построение геометрии. Это связано, прежде всего, с тем, что это скучно и непонятно, и требует времени. Постоянно приходится следить за тем, чтобы не использовать что-нибудь совершенно ясное, но ещё не доказанное нами. В течение большого периода предпринимались усилия для разработки сравнительно простой, легко обозримой аксиоматики и строгого логического построения геометрии. Последнее достижение в этом направлении - учебники А. В. Погорелова и Л. С. Атанасяна. Но их считают очень трудными и "заумными". Мне кажется, что в общеобразовательной школе дать последовательное чисто дедуктивное построение геометрии не возможно.
Приведем пример тщетных попыток придать изложению геометрии строго дедуктивный характер – это вавилонское доказательство теоремы Пифагора. Так как в нём используются площади, то при строго последовательном изложении предмета его надо отложить до того времени, когда будут изучаться площади. В самой же теореме речь идёт о длинах отрезков, и хорошо бы привести её в соответствующем месте, задолго до площадей. Кроме того, возникают сложности и с самими площадями. Так как площадь не является первичным понятием, фигурирующим в аксиомах; значит, надо дать определение площади, а это опять не так-то просто. Наибольшие сложности связаны с площадью криволинейной фигуры. Для доказательства теоремы Пифагора нам нужны только многоугольники, у нас ведь там были четыре треугольника и два квадрата. С ними дело обстоит лучше. Для доказательства необходимо знать, что площадь фигуры равна сумме площадей её частей. Но кто сказал, что это так? Интуитивная уверенность имеет отношение не столько к геометрии, сколько к физике. Представим себе фигуру, сделанную из однородного материала, тогда её площадь пропорциональна количеству содержащегося в ней вещества, то есть её массе. Далее, при разделении тела на несколько частей, сумма их масс равна массе исходного тела. Это понятно, потому что всё состоит из атомов и молекул, и раз их число не изменилось, то не изменилась и их суммарная масса. Но давайте задумаемся, на какое количество экспериментальных физических фактов опирается это рассуждение. А это уже не геометрия. Впрочем, есть один геометрический момент, который тоже нуждается в разъяснении. Это связано с тем, что масса куска однородного материала пропорциональна его объёму; значит, надо знать, что объём "листа", имеющего форму данной фигуры, пропорционален её площади. Это уже относится к стереометрии и является утверждением и о площадях, и об объёмах! Таким образом, сколь бы ни была обоснована опытом уверенность, что площадь фигуры равна сумме площадей её частей, в геометрии надо это доказывать. В начале века существовали учебники, в которых всё это делалось аккуратно. Сложного здесь ничего нет, но требуется время, которого в общеобразовательной школе нет.
Говоря о построении математики как систематической науки, можно отметить, что дедуктивное и систематическое построение – это различные понятия. В школе арифметика и алгебра хоть и излагаются систематически, но выводить их дедуктивно из аксиом многим представляется невозможным.
На самом деле, дедуктивно можно построить не только геометрию, но оставаясь в пределах школьного материала, и алгебру, и арифметику.

Список литературы
1. Атахов Р. В. Соотношение общих закономерностей мышления и математического мышления. Вопросы психологии, №5, 1995, С. 46;
2. Гетманова А. Д. Логика. – М., «Добросвет», 2000, С. 137;
3. Дорофеев Г. В. О принципах отбора содержания школьного математического образования. Математика в школе, №6, 1990, С. 2-5;
4. Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание. – М., 1980. С. 127;
5. Липина И. Развитие логического мышления на уроках математики // Начальная школа. – 1999. - № 8. С. 37-39.
6. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - М., 1975, Т. 1;
7. Саранцев Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе. – М., «Просвещение», 2000;
8. Семенов Е. М., Горбунова Е. Д. Развитие мышления на уроках математики. Свердловск, 1966;
9. Стойлова Л. П. Математика. –М., «Академия», 1997, С. 96;
10. Столяр А. А. Педагогика математики. – Минск, Вышэйшая школа, 1986